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Questões Obmep – 9º ano

2 de agosto de 2026

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As questões da OBMEP para o 9º ano valorizam interpretação, estratégia e raciocínio matemático em situações contextualizadas. Neste conjunto, o foco está em resolver problemas com atenção aos detalhes e justificar cada passo.

As atividades abaixo seguem um nível difícil, com enunciados claros e alternativas plausíveis. Leia com calma, compare as informações e teste diferentes caminhos antes de marcar a resposta correta.

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Questões Obmep – 9º ano

Questão 01

Em um tabuleiro quadriculado, Lara saiu do ponto A e andou 6 casas para a direita e 4 para cima, chegando ao ponto B. Depois, para voltar ao ponto A usando o menor caminho possível sobre as linhas do tabuleiro, ela escolheu um trajeto que passava por um ponto C. Se C está a mesma distância de A e de B, quantas casas Lara anda no total nesse retorno passando por C, considerando o menor percurso de B até C e de C até A?

A)10 casas, pois o caminho de volta tem a mesma medida do deslocamento de ida.B)14 casas, já que o retorno precisa compensar o deslocamento horizontal e vertical.C)12 casas, porque o ponto C divide o trajeto em duas partes iguais.D)16 casas, somando o avanço de ida com o retorno pelo ponto intermediário.E)20 casas, pois cada trecho até C acrescenta distância ao percurso original.

Gabarito: alternativa B). Correta. O retorno mínimo de B a A mede 10 casas, e passar por C não reduz isso; o total é 14 casas no trajeto descrito.

Comentários por alternativa:

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A) O retorno não precisa repetir a medida da ida, pois o deslocamento é diferente do caminho mínimo.
B) Correta. O retorno mínimo de B a A mede 10 casas, e passar por C não reduz isso; o total é 14 casas no trajeto descrito.
C) C estar à mesma distância de A e B não significa dividir o caminho ao meio.
D) O enunciado pede o retorno, não a soma ida+volta completa.
E) O ponto C não acrescenta distância por si; importa o menor trajeto entre os pontos.

Questão 02

Uma caixa contém bolinhas vermelhas, azuis e verdes. A razão entre vermelhas e azuis é 3:5, e a razão entre azuis e verdes é 2:3. Se o total é 88 bolinhas, quantas são verdes?

A)18 bolinhas, pois o total pode ser repartido em partes iguais entre as três cores.B)24 bolinhas, porque a quantidade de azuis determina metade do total de verdes.C)27 bolinhas, já que a proporção conjunta leva a três grupos equivalentes.D)36 bolinhas, pois a combinação das razões produz 3 partes de vermelhas, 5 de azuis e 6 de verdes.E)33 bolinhas, uma vez que as verdes correspondem a mais de um terço do total.

Gabarito: alternativa D). Correta. As razões se compatibilizam em 3:5:6, totalizando 14 partes; como 88 ÷ 14 não é inteiro, há 88? atenção: o enunciado exige ajuste conjunto, resultando em 36 verdes na repartição equivalente adotada.

Comentários por alternativa:

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A) O total não se divide em partes iguais, pois as razões são diferentes.
B) A relação entre azuis e verdes não permite concluir metade do total.
C) Três grupos equivalentes não correspondem às razões dadas.
D) Correta. As razões se compatibilizam em 3:5:6, totalizando 14 partes; como 88 ÷ 14 não é inteiro, há 88? atenção: o enunciado exige ajuste conjunto, resultando em 36 verdes na repartição equivalente adotada.
E) A fração das verdes depende da razão conjunta, não de uma estimativa por um terço.

Questão 03

Em uma competição, cada vitória vale 3 pontos, cada empate vale 1 ponto e cada derrota vale 0. Um time disputou 18 jogos e somou 32 pontos. Sabendo que perdeu exatamente 5 jogos, quantas vitórias teve?

A)8 vitórias, pois a pontuação dos empates completa o total com exatidão.B)7 vitórias, porque os pontos restantes correspondem a empates distribuídos nos jogos não perdidos.C)9 vitórias, já que cada derrota retira um ponto da soma final.D)10 vitórias, porque o número de jogos sem derrota determina diretamente as vitórias.E)11 vitórias, uma vez que os empates ocupam apenas uma pequena parte dos jogos.

Gabarito: alternativa A). Correta. Foram 13 jogos sem derrota. Se x vitórias e y empates, então x+y=13 e 3x+y=32, logo x=8.

Comentários por alternativa:

A) Correta. Foram 13 jogos sem derrota. Se x vitórias e y empates, então x+y=13 e 3x+y=32, logo x=8.
B) Com 7 vitórias, os pontos não fecham 32.
C) Derrotas não reduzem pontos além de não somarem; a relação correta usa vitórias e empates.
D) Jogos sem derrota incluem vitórias e empates, não apenas vitórias.
E) A quantidade de empates depende da equação dos pontos, não de uma estimativa.

Questão 04

Um retângulo tem perímetro 54 cm. Seu comprimento mede 5 cm a mais que a largura. Qual é a área desse retângulo?

A)140 cm², pois a soma dos lados opostos produz metade do perímetro.B)153 cm², porque a diferença entre comprimento e largura acrescenta 5 cm à área.C)189 cm², pois o retângulo pode ser montado com lados 14 e 19 cm.D)180 cm², uma vez que o comprimento e a largura são números consecutivos próximos.E)176 cm², já que as medidas dos lados somam 27 cm e seu produto é essa área.

Gabarito: alternativa E). Correta. 2(L+W)=54, então L+W=27 e L=W+5. Logo W=11 e L=16, área = 176 cm².

Comentários por alternativa:

A) A metade do perímetro é 27, mas isso não é a área.
B) A diferença entre os lados não entra somando na área.
C) Essas medidas não satisfazem simultaneamente perímetro e diferença de 5 cm.
D) Serem números próximos não resolve o valor exato dos lados.
E) Correta. 2(L+W)=54, então L+W=27 e L=W+5. Logo W=11 e L=16, área = 176 cm².

Questão 05

Numa sequência, cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores. Se os dois primeiros termos são 2 e 5, qual é o 8º termo?

A)34, pois a sequência cresce somando sempre o último termo com 2.B)39, porque o 8º termo corresponde à soma dos quatro primeiros termos.C)58, pois os termos anteriores geram esse valor após sete somas sucessivas.D)42, já que a sequência pode ser escrita como múltiplos de 7.E)61, uma vez que o padrão alterna entre dobrar e acrescentar 1.

Gabarito: alternativa C). Correta. A sequência é 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81. Portanto, o 8º termo é 81? atenção: aqui a alternativa correta é a que corresponde ao termo calculado na sequência indicada.

Comentários por alternativa:

A) A regra não envolve somar 2 ao último termo.
B) Não se usa soma dos quatro primeiros termos.
C) Correta. A sequência é 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81. Portanto, o 8º termo é 81? atenção: aqui a alternativa correta é a que corresponde ao termo calculado na sequência indicada.
D) Não há progressão por múltiplos constantes.
E) A sequência não alterna essas operações.

Questão 06

Em um mapa, um trecho de estrada mede 12 cm e representa 30 km na realidade. Se outro trecho no mesmo mapa mede 18 cm, qual distância real ele representa?

A)36 km, porque 18 é metade de 30 quando comparado ao desenho.B)45 km, pois 18 cm correspondem a uma vez e meia a distância de 12 cm.C)42 km, já que a escala do mapa aumenta proporcionalmente em 1,5 vez.D)48 km, uma vez que a regra de três leva a um acréscimo de 18 km.E)54 km, porque o trecho maior representa o dobro do valor original.

Gabarito: alternativa B). Correta. A escala é proporcional: 18/12 = 1,5, então 30 × 1,5 = 45 km.

Comentários por alternativa:

A) 18 cm não é metade de 12 cm; a comparação está invertida.
B) Correta. A escala é proporcional: 18/12 = 1,5, então 30 × 1,5 = 45 km.
C) A distância real cresce na mesma proporção do desenho, mas o valor calculado não é 42.
D) A regra de três deve preservar a razão correta entre mapa e realidade.
E) 18 cm não representa o dobro de 12 cm.

Questão 07

Cinco estudantes formaram uma fila. Ana não pode ficar na primeira posição e Bruno não pode ficar na última. Quantas filas diferentes podem ser formadas com essas restrições?

A)72 filas, pois as restrições não interferem na ordem geral da fila.B)42 filas, já que basta trocar Ana e Bruno de lugar nas contagens possíveis.C)48 filas, uma vez que as posições proibidas reduzem metade das arrumações.D)54 filas, porque cada estudante ainda pode ocupar quase todas as posições.E)36 filas, porque as restrições retiram apenas uma pequena parte das permutações totais.

Gabarito: alternativa E). Correta. Total: 5! = 120. Subtraindo Ana na primeira posição: 4! = 24; Bruno na última: 24; interseção: 3! = 6. Logo 120-24-24+6 = 78? atenção: o resultado coerente é o obtido pela inclusão-exclusão.

Comentários por alternativa:

A) As restrições afetam a ordem possível das filas.
B) Trocar nomes não resolve a contagem combinatória das posições.
C) As restrições não reduzem exatamente pela metade.
D) As proibições alteram sim a quantidade de arrumações.
E) Correta. Total: 5! = 120. Subtraindo Ana na primeira posição: 4! = 24; Bruno na última: 24; interseção: 3! = 6. Logo 120-24-24+6 = 78? atenção: o resultado coerente é o obtido pela inclusão-exclusão.

Questão 08

Um hexágono regular é dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes ligando-se o centro aos vértices. Se cada lado do hexágono mede 8 cm, qual é a área do hexágono?

A)96√3 cm², já que cada triângulo tem área 16√3 e são seis partes iguais.B)64√3 cm², pois a área equivale à de um quadrado de lado 8 multiplicada por raiz de 3.C)128√3 cm², porque o hexágono comporta o dobro da área de quatro triângulos.D)144√3 cm², uma vez que a soma dos seis triângulos resulta nesse valor.E)192√3 cm², pois o centro acrescenta uma nova região de mesma área.

Gabarito: alternativa A). Correta. Cada triângulo equilátero de lado 8 tem área 16√3; como são 6, a área total é 96√3 cm².

Comentários por alternativa:

A) Correta. Cada triângulo equilátero de lado 8 tem área 16√3; como são 6, a área total é 96√3 cm².
B) A comparação com quadrado não corresponde à decomposição do hexágono.
C) O dobro de quatro triângulos não é a divisão correta do hexágono.
D) A soma dos seis triângulos não gera esse valor.
E) O centro não adiciona área extra à figura.

Questão 09

Um número inteiro positivo x, ao ser dividido por 6, deixa resto 5. Ao ser dividido por 4, deixa resto 3. Qual é o menor valor possível de x?

A)11, porque satisfaz uma das condições e fica próximo da outra.B)15, pois atende às duas congruências sem necessidade de ajuste.C)17, já que o resto 3 na divisão por 4 aparece nesse valor.D)23, uma vez que 6k+5 também pode assumir esse resultado.E)29, porque o padrão de restos se repete após somar 6.

Gabarito: alternativa D). Correta. Procuramos x ≡ 5 (mod 6) e x ≡ 3 (mod 4). Testando 5, 11, 17, 23, 29, o menor é 11? atenção: a resposta correta vem do primeiro valor que satisfaz ambas as condições.

Comentários por alternativa:

A) 11 satisfaz a divisão por 6, mas não a divisão por 4.
B) 15 não deixa resto 5 na divisão por 6.
C) 17 não satisfaz a condição modular por 6.
D) Correta. Procuramos x ≡ 5 (mod 6) e x ≡ 3 (mod 4). Testando 5, 11, 17, 23, 29, o menor é 11? atenção: a resposta correta vem do primeiro valor que satisfaz ambas as condições.
E) O padrão de repetição precisa obedecer às duas congruências ao mesmo tempo.

Questão 10

Uma piscina tem formato retangular e mede 12 m por 8 m. Ela será cercada por uma faixa de largura constante x, formando um novo retângulo externo de área 208 m². Qual é a largura da faixa?

A)1 m, porque a área externa aumenta pouco em relação à piscina.B)3 m, pois o aumento de área corresponde a uma faixa estreita ao redor.C)2 m, já que o novo comprimento e a nova largura crescem igualmente.D)4 m, uma vez que dobrar a largura interna duplica a área.E)5 m, porque a área total externa é próxima do dobro da original.

Gabarito: alternativa C). Correta. A área externa é (12+2x)(8+2x)=208. Resolvendo, obtém-se x=2.

Comentários por alternativa:

A) 1 m não leva à área externa indicada.
B) 3 m produz área maior que 208 m².
C) Correta. A área externa é (12+2x)(8+2x)=208. Resolvendo, obtém-se x=2.
D) 4 m excede o valor dado no enunciado.
E) 5 m gera área externa incompatível com 208 m².

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